CONDUCTORES EN UN CAMPO MAGNETICO

Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/elecmagnet/campo_magnetico/ampere/ampere.html

Campo magnético producido por una corriente rectilínea indefinida

El físico Jean Biot dedujo en 1820 una ecuación que permite calcular el campo magnético B creado por un circuito de forma cualesquiera recorrido por una corriente de intensidad i.

B=μ0i4π∮ut×urr2dl${\displaystyle B=\frac{{\mu }_{0}i}{4\pi }{\displaystyle \oint \frac{u_t\times u_r}{r^2}}dl}$

B es el vector campo magnético existente en un punto P del espacio, u_t es un vector unitario cuya dirección es tangente al circuito y que nos indica el sentido de la corriente en la posición donde se encuentra el elemento dl. u_res un vector unitario que señala la posición del punto P respecto del elemento de corriente, μ₀/4π = 10^-7 en el Sistema Internacional de Unidades.

Corriente rectilínea perpendicular al plano de la fotografía

Campo magnético producido por una corriente rectilínea

Utilizamos la ley de Biot para calcular el campo magnético B producido por un conductor rectilíneo indefinido por el que circula una corriente de intensidad i.

El campo magnético B producido por el hilo rectilíneo en el punto P tiene una dirección que es perpendicular al plano formado por la corriente rectilínea y el punto P, y sentido el que resulta de la aplicación de la regla del sacacorchos al producto vectorial u_t× u_rPara calcular el módulo de dicho campo es necesario realizar una integración.

B=μ0i4π∫−∞+∞sinθr2dy=μ0i4πR∫0πsinθ dθ=μ0i2π R${\displaystyle B=\frac{{\mu }_{0}i}{4\pi }{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{\sin \theta }{r^2}dy}=\frac{{\mu }_{0}i}{4\pi R}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \theta d\theta }=\frac{{\mu }_{0}i}{2\pi R}}$

Se integra sobre la variable θ , expresando las variables x y r en función del ángulo θ .

R=r·cosθ , R=-y·tanθ .

En la figura, se muestra la dirección y sentido del campo magnético producido por una corriente rectilínea indefinida en el punto P. Cuando se dibuja en un papel, las corrientes perpendiculares al plano del papel y hacia el lector se simbolizan con un punto • en el interior de una pequeña circunferencia, y las corrientes en sentido contrario con una cruz × en el interior de una circunferencia tal como se muestra en la parte derecha de la figura.

La dirección del campo magnético se dibuja perpendicular al plano determinado por la corriente rectilínea y el punto, y el sentido se determina por la regla del sacacorchos o la denominada de la mano derecha.

La ley de Ampère

∮B⋅dl=μ0i${\displaystyle {\displaystyle \oint B\cdot dl}={\mu }_{0}i}$

La ley de Gauss nos permitía calcular el campo eléctrico producido por una distribución de cargas cuando estas tenían simetría (esférica, cilíndrica o un plano cargado).

Del mismo modo la ley de Ampère nos permitirá calcular el campo magnético producido por una distribución de corrientes cuando tienen cierta simetría.

Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampère son similares a los de la ley de Gauss.

1. Dada la distribución de corrientes, deducir la dirección y sentido del campo magnético
2. Elegir un camino cerrado apropiado, atravesado por corrientes y calcular la circulación del campo magnético.
3. Determinar la intensidad de la corriente que atraviesa el camino cerrado
4. Aplicar la ley de Ampère y despejar el módulo del campo magnético.

Campo magnético producido por una corriente rectilínea

La dirección del campo en un punto P, es perpendicular al plano determinado por la corriente y el punto.   Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radior, centrada en la corriente rectilínea, y situada en una plano perpendicular a la misma.

• El campo magnético B es tangente a la circunferencia de radio r, paralelo al vector dl.
• El módulo del campo magnético B tiene tiene el mismo valor en todos los puntos de dicha circunferencia.

La circulación (el primer miembro de la ley de Ampère) vale

∮B⋅dl=∮B⋅dlcos0º=B∮dl=B⋅2π R${\displaystyle {\displaystyle \oint B\cdot dl}={\displaystyle \oint B·dl\cos 0º}=B{\displaystyle \oint dl}=B·2\pi R}$

3. La corriente rectilínea i atraviesa la circunferencia de radio r.
    
4. Despejamos el módulo del campo magnético B.

B⋅2π R=μ0i  B=μ0i2π R${\displaystyle B·2\pi R={\mu }_{0}iB=\frac{{\mu }_{0}i}{2\pi R}}$

Llegamos a la expresión obtenida aplicando la ley de Biot.

Fuerza entre dos corrientes rectilíneas

Sean dos corrientes rectilíneas indefinidas de intensidades I_a e I_b paralelas y distantes d.

El campo magnético producido por la primera corriente rectilínea en la posición de la otra corriente es

Ba=μ0Ia2πd${\displaystyle B_a=\frac{{\mu }_0{I}_a}{2\pi d}}$

De acuerdo con la regla de la mano derecha tiene el sentido indicado en la figura, en forma vectorial B_a=-B_ai

La fuerza sobre una porción L, de la segunda corriente rectilínea por la que circula una corriente I_b en el mismo sentido es

F=Ib(ut×Ba)LF=Ib(k×−Bai)L=−μ0IaIb2π dLj${\displaystyle \begin{array}{l}F=I_b(u_t\times B_a)L\\ F=I_b(k\times -B_{a}i)L=-\frac{{\mu }_0{I}_a{I}_b}{2\pi d}Lj\end{array}}$

Como podemos comprobar, la fuerza que ejerce el campo magnético producido por la corriente de intensidad I_bsobre la una porción de longitud L de corriente rectilínea de intensidad I_a, es igual pero de sentido contrario.

La fuerza por unidad de longitud ente dos corrientes rectilíneas indefinidas y paralelas, distantes d es

FL=μ0IaIb2πd${\displaystyle \frac{F}{L}=\frac{{\mu }_0{I}_a{I}_b}{2\pi d}}$

La unidad de medida de la intensidad de la corriente eléctrica, el ampere, se fundamenta en esta expresión:

El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2·10^-7 newton por metro de longitud.

Si las corrientes tienen sentido opuesto, la fuerza tiene el mismo módulo pero de sentido contrario, las corrientes se atraen, tal como se aprecia en la figura

F=Ib(ut×Ba)L=Ib(−k×−Bai)L=μ0IaIb2π dLj${\displaystyle F=I_b(u_t\times B_a)L=I_b(-k\times -B_{a}i)L=\frac{{\mu }_0{I}_a{I}_b}{2\pi d}Lj}$

Dos corrientes rectilíneas indefinidas, paralelas, separadas una distancia d

• las corrientes eléctricas que circulan en el mismo sentido, se atraen
• las corrientes eléctricas que circulan en sentido contrario, se repelen