Campo magnético producido por un solenoide

Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/magnetico/solenoide/solenoide.html

Calculamos el campo producido por un solenoide en un punto P situado en el eje del solenoide:

Sumando el campo producido por las N espiras en un punto de su eje común.

Aplicando la ley de Ampère, a un solenoide muy largo comparado con el radio de sus espiras

Campo producido por un solenoide en un punto de su eje

Vamos a calcular el campo producido por el solenoide en un punto P situado en el eje del solenoide sumando el campo producido por las N espiras.

En la figura, tenemos un corte longitudinal de un solenoide de longitud L, formado por Nespiras iguales de radio a.

En la página titulada, campo magnético producido por una espira, obtuvimos la expresión del campo magnético producido por una espira de radio a en un punto P de su eje distante x.

B=μ0ia22(a2+x2−−−−−−√)3${\displaystyle B=\frac{{\mu }_{0}i{a}^2}{2{\left(\sqrt{a^2+x^2}\right)}^3}}$

Todas las espiras del solenoide producen en P un campo que tiene la misma dirección y sentido, pero distinto módulo, dependiendo de su distancia x al punto P.

El número de espiras que hay en el intervalo comprendido entre x y x+dx es dn=N·dx/L

Estas espiras producen en P un campo que es el producto del campo producido por una espira por el número dn de espiras

dB=μ0ia22(a2+x2−−−−−−√)3NLdx${\displaystyle dB=\frac{{\mu }_{0}i{a}^2}{2{\left(\sqrt{a^2+x^2}\right)}^3}\frac{N}{L}dx}$

Para integrar, tenemos que hacer el cambio de variable a=x·tanθ y teniendo en cuenta que, 1+tan²θ =1/cos²θ, simplificamos la integral

B=μ0iN2L∫θ1θ2−sinθ⋅dθ=μ0iN2L(cosθ2−cosθ1)${\displaystyle \mathrm{<br>}}$
${\displaystyle B=\frac{{\mu }_{0}iN}{2L}{\displaystyle \underset{{\theta }_1}{\overset{{\theta }_2}{\int }}-\sin \theta ·d\theta }=\frac{{\mu }_{0}iN}{2L}\left(\cos {\theta }_2-\cos {\theta }_1\right)}$

Si el solenoide es muy largo comparado con su radioa y si el punto P está situado en el centro, tendremos que θ1→π y θ2→0${\theta }_1\to \pi \text{y}{\theta }_2\to 0$. El campo Bvale entonces

B=μ0iNL${\displaystyle B=\frac{{\mu }_{0}iN}{L}}$

Representamos ahora, el campo B en unidades del campo en el centro del solenoide, en función de la posición x del punto P, situando el origen de coordenadas en el centro del solenoide, tal como se muestra en la figura, más abajo.

BB0=12(cosθ2−cosθ1) cosθ2=L/2−x(L/2−x)2+a2√  cosθ1=−L/2−x(−L/2−x)2+a2√${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{B}{B_0}=\frac{1}{2}\left(\cos {\theta }_2-\cos {\theta }_1\right)\end{array}}$
${\displaystyle \begin{array}{l}\cos {\theta }_2=\frac{L/2-x}{\sqrt{{(L/2-x)}^2+a^{\mathrm{2 }}}}\end{array}}$  cos⁡θ1=−L/2−x(−L/2−x)2+a2

a=0.1;  %cociente a/L, radio/longitud del solenoide
x=linspace(-1,1,50); %en unidades de longitud del solenoide, x/L
B2=(1/2-x)./sqrt((1/2-x).^2+a^2);
B1=(-1/2-x)./sqrt((-1/2-x).^2+a^2);
B=(B2-B1)/2;
plot(x,B);
grid on
xlabel('x')
ylabel('B/B_0')
title('Campo magnético en el eje de un solenoide')

El campo magnético es prácticamente uniforme en el interior del solenoide, en los extremos del solenoide x=±0.5 se reduce a la mitad del campo magnético en el centro.

El solenoide. Ley de Ampère

Si suponemos que el solenoide es muy largo comparado con el radio de sus espiras, el campo es aproximadamente uniforme y paralelo al eje en el interior del solenoide y es nulo fuera del solenoide. En esta aproximación, es aplicable la ley de Ampère.

∮B⋅dl=μ0i${\displaystyle {\displaystyle \oint B·dl}={\mu }_{0}i}$

El primer miembro, es la circulación del campo magnético a lo largo de un camino cerrado y en el segundo miembro, el término i se refiere a la intensidad que atraviesa dicho camino cerrado.

Para determinar el campo magnético, aplicando la ley de Ampère, tomamos un camino cerrado ABCD que sea atravesado por corrientes. La circulación es la suma de cuatro contribuciones, una por cada lado.

∮B⋅dl=∫ABB⋅dl+∫BCB⋅dl+∫CDB⋅dl+∫DAB⋅dl${\displaystyle {\displaystyle <br>}}$
${\displaystyle {\displaystyle \oint B·dl}={\displaystyle \underset{A}{\overset{B}{\int }}B·dl}+{\displaystyle \underset{B}{\overset{C}{\int }}B·dl}+{\displaystyle \underset{C}{\overset{D}{\int }}B·dl}+{\displaystyle \underset{D}{\overset{A}{\int }}B·dl}}$

Examinaremos, ahora cada una de las contribuciones a la circulación:

1. Como vemos en la figura, la contribución a la circulación del lado AB es cero ya que bienB y dl son perpendiculares o bien, B es nulo en el exterior del solenoide.
2. Lo mismo ocurre en el lado CD.
3. En el lado DA la contribución es cero, ya que el campo en el exterior al solenoide es cero.
4. El campo es constante y paralelo al lado BC, la contribución a la circulación es Bx, siendox la longitud de dicho lado.

La corriente que atraviesa el camino cerrado ABCD se puede calcular fácilmente:

Si hay N espiras en la longitud L del solenoide en la longitud x habrá Nx/L espiras. Como cada espira trasporta una corriente de intensidad i, la corriente que atraviesa el camino cerrado ABCD es Nx·i/L.

La ley de Ampère se escribe para el solenoide.

Bx=μ0NxLi  B=μ0NLi${\displaystyle Bx={\mu }_0\frac{Nx}{L}iB=\frac{{\mu }_{0}N}{L}i}$

Líneas de campo magnético

Para visualizar las líneas de campo magnético, se emplean limaduras de hierro. Este procedimiento es muy limitado y requiere bastante cuidado por parte del experimentador. Véase la fotografía al principio de esta página

En el programa interactivo se calcula, aplicando la ley de Biot-Savart, el campo magnético producido por cada espira en un punto fuera del eje. Posteriormente, determina el campo magnético resultante, sumando vectorialmente el campo producido por cada espira en dicho punto. Finalmente, se trazan las líneas del campo magnético que pasan por puntos equidistantes a lo largo del diámetro del solenoide.

Podemos ver el mapa de las líneas del campo magnético de:

• Una espira circular
• Dos espiras, esta disposición simula las denominadas bobinas de Helmholtz, utilizadas en el laboratorio para producir campos magnéticos aproximadamente uniformes en la región entre las dos bobinas.
• Muchas espiras iguales y equidistantes, que simula el solenoide.

Se introduce

• El número de espiras N en el control titulado nº de espiras
• La separación entre las espiras, en el control titulado Separación